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期权定价中的蒙特卡洛模拟方法.docx

期权定价中的蒙特卡洛模拟方法期权作为最基础的金融衍生产品之一，为其定价一直是金融工程的重要研究领域，主要使用的定价方法有偏微分方程法、鞅方法和数值方法。而数值方法又包括了二叉树方法、有限差分法和蒙特卡洛模拟方法。蒙特卡洛方法的理论基础是概率论与数理统计，其实质是通过模拟标的资产价格路径预测期权的平均回报并得到期权价格估计值。蒙特卡洛方法的最大优势是误差收敛率不依赖于问题的维数，从而非常适宜为高维期权定价。预备知识?两个重要的定理：柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)强大数定律和莱维―林德贝格(Levy-Lindeberg)中心极限定理。大数定律是概率论中用以说明大量随机现象平均结果稳定性的一系列极限定律。在蒙特卡洛方法中用到的是随机变量序列同分布的Kolmogorov强大数定律：设W…为独立同分布的随机变量序列，若1nE/k

=N＜『k=12…则有P(呵-￡)=?)=1「一n?显然，若4三「V是由同一总体中得到的抽样，那么由此大数定律可知样本均值工￡1当n很大时以概率1收敛于nkd总体均值N。中心极限定理是研究随机变量之和的极限分布在何种情形下是正态的，并由此应用正态分布的良好性质解决实际问题。设E,%…为独立同分布的随机变量序列，若n、k-n」E=」：二，D=。2=1,2,…贝E=」：二，D=、.n。xt2xt2Iexp(——)dt,-°ox兀。二2其等价形式为limP(n』一..x):Ln二二.2二.n?Black-Scholes期权定价模型模型的假设条件：1、标的证券的价格遵循几何布朗运动dS=」dt一1dWS其中，标的资产的价格S是时间t的函数，N为标的资产的瞬时期望收益率，为标的资产的波动率，dW是维纳过程。2、证券允许卖空、证券交易连续和证券高度可分。3、不考虑交易费用或税收等交易成本。4、在衍生证券的存续期内不支付红利。5、市场上不存在无风险的套利机会。6、无风险利率r为一个固定的常数。下面，通过构造标的资产与期权的资产组合并根据无套利定价原理建立期权定价模型。首先，为了得到期权的微分形式，先介绍随机微积分中的最重要的伊藤公式。伊藤Ito公式：设V=V(S,t),V是二元可微函数，若随机过程S满足如下的随机微分方程dS=J(S,t)dt二(S,t)dWS则有TOC o 1-5 h zN,V122；：2V；:VdV=(一」(S,t)S——?—：，2(S,t)S2—2)dt二(S,t)S—dWft；S2；:S2；S根据伊藤公式，当标的资产的运动规律服从假设条件中的几何布朗运动时，期权的价值V=V(S，t)的微分形式为N122；：2VNFVdV=(———:.2S2,」S——)dt二S——dWft2；:S2；S；S现在构造无风险资产组合n=v.史s,即有dn=rndt,；S经整理后得到:V12222VN—1_S9rS-rV=0.:t2；:S2；S这个表达式就是表示期权价格变化的Black-Scholes偏微分方程。它同时适合欧式看涨期权、欧式看跌期权、美式看涨期权和美式看跌期权，只是它们的终值条件和边界条件不同，其价值也不相同。欧式看涨期权的终边值条件分别为0S0V(S,T)=max{0￡-K}V(S，T)=ss通过求解带有终边值条件的偏微分方程，得由欧式看涨期权的的解析解：V(S,t)=SN(d1)-Ke”㈤N)1N(d)=—其中，1N(d)=—其中，、22xd一一二e2dxdi=ln(S/K)(r二2/2)(T-t)二T-1d2=di-仃石，T为期权的执行日期，K为期权的执行价格。欧式看跌期权的终边值条件分别为KS0V(S,T)=max{0,K-Sr}V(S，T)=j0st出止匕外，美式看涨期权的终值条件为V(S,t)max{0,S-K},美式看跌期权的终值条件为V(S,t)max{0,K-S}o然而，美式期权的价值没有解析解，我们一般可通过数值方法(蒙特卡洛模拟、有限差分法等)求得其近似解。?风险中性期权定价模型如果期权的标的资产价格服从几何布朗运动臾=rdt+0dWS即标的资产的瞬时期望收益率N取为无风险利率r。同理，根据伊藤公式可以得到a-2dlnS=(r-——)dt二dW2TOC o 1-5 h z22:02lnSt-lnSt=(r一)(T—t)二Wt-Wt)~N((r-)(T—t),二(T-t))222St=Stexp((r-)(T—t)二(Wt—Wt))2对数正态分布的概率密度函数：设乙~N(N尸2),二1，则的密度函数为x0x0/(lnx-)x0x0exp(2)P(x)=v2n^x2仃0根据上述公式，得到标的资产的密度函数如下_2(lnq-(r-)(T-IDexp(—St22)二2(T.t)在风险中性概率测度下，欧式看涨期权定价为:V(S,t)=exp(-r(T-t))EQ

max{0,St-K}

_Q1E

max{0—许了产x_Q1E

max{0—许了产x/(1ns一(r2CT2-。)-2一2二T-t)dx:—.exp(x二，:—.exp(x二，2二*T-t2x0一2(ln|-(r–)(T-t))2——S22)dx2二2T-t接下来，求解以上风险中性期望。首先，对上式的右边第一个广义积分分别作变量替换2x;ln-(r一)(T-t)和3丫-仃而二，可以得到1exp(二2T-tx(In(rS21exp(二2T-tx(In(rS2)(T-t))22O2T-t)dx=Ser(T_t)2uK.i-e2du=Ser(Tt)ln1-(r4^-)(T-t)42nlnS*r岂)(T-L)K221一2Cr(T-t)——e2du=SeN(d1)2二再对等式的右边的第二个无穷积分，令二2lnx-lnS-(r——)(T-t)JT-tx。2；,T-tJT-tx。2；,T-texp(-,可求得x二22(lno-(r-)(T-t))2S22)dx2；(T-t)1lnK」nS9：…萩u2e2du=KlnS-lnK^r—52)(T-4)2,u21一c——e2du=KN(d2)，2二将以上的计算结果代入期望等式中，得到欧式看涨期权的价格公式为：V(S,t)=eJ(T-t)EQ

max{0,ST-K}

=SN(d1)-Ke」(T,)N(d2)S二2In(r)(T-t)d,K2其中，1仃五二？,d2=dL。/^。可以看由，对于欧式看涨期权的风险中性定价方法的结果与基于资产复制的偏微分方程定价方法的结果是一致的。基于风险中性的期权定价原理在于：任何资产在风险中性概率测度下，对于持有者来说都是风险偏好中性的，便可用风险中性概率求取期权的期望回报再将其进行无风险折现便是初始时刻的期权价值。蒙特卡洛模拟方法就是一种基于风险中性原理的期权数值定价方法。蒙特卡洛模拟方法及其效率假设所求量8是随机变量n的数学期望E「

,那么近似确定日的蒙特卡洛方法是对“进行n次重复抽样，产生独立同分布的随机变量序列“1,“2「，”n,并计算样本均值1Jn=二二k。那么根据Kolmogorov强大数定律有nk=1pQmM=9)=1。因此，当n充分大时，可用二作为所求n—量日的估计值。由中心极限定理可得到估计的误差。设随机变量n的方差D=02M,对于标准正态分布的上B/2分位数Z§，2,有一1Z2t2.一p(一Z2n)2_Z2exp(_2)dt=1这表明，置信水平1-6对应的渐近置信区间是CTTCTTtZ—￡1，°实际上，由此可确定蒙特卡洛方法的概率化误差边界，其误差为Z2M三，误差收敛速度是O(n42)、n不难看由，蒙特卡洛方法的误差是由仃和新决定的。在对同一个”进行抽样的前提下，若想将精度提高一位数字，要么固定仃,将n增大100倍；要么固定n将。减小10倍。若两个随机变量?2的数学期望E=E「2

=日,，，仃2,那么无论从“1或％中抽样均可得到日的蒙特卡洛估计值。比较其误差，设获得，的一个抽样所需的机时为t,那么在时间T内生成的抽样数n=%，若使口品,则i-，:n1Tn2需使仃也＜0玄。因而，若要提高蒙特卡罗方法的效率，不能单纯考虑增加模拟的次数n或是减小方差2,应当在减小方差的同时兼顾抽取一个样本所耗费的机时，使方差2与机时t的乘积尽量的小。蒙特卡洛模拟方法为期权定价的实现步骤期权定价的蒙特卡洛方法的理论依据是风险中性定价原理：在风险中性测度下，期权价格能够表示为其到期回报的贴现的期望值，即P=EQ

exp(-rT)f(§,S2:§)

,其中的EQ表示风险中性期望，r为无风险利率，T为期权的到期执行时刻，f(G，S2,…，0)是关于标的资产价格路径的预期收益。由此可知，计算期权价格即就是计算一个期望值，蒙特卡洛方法便是用于估计期望值，因此可以得到期权定价的蒙特卡洛方法。一般地，期权定价的蒙特卡洛模拟方法包含以下几步(以欧式看涨期权为例)：(l)在风险中性测度下模拟标的资产的价格路径将时间区间［0,口分成n个子区间0=t0ctict2-tn=T,标的资产价格过程的离散形式是,112jj(「一；二)(ti11-ti)1,：ti-1-tiziSj(ti+i)=Sj(ti)e2,z~N(0,i)(2)计算在这条路径下期权的到期回报，并根据无风险利率求得回报的贴现Cj=exp(-rT)max10,ST-K)(3)重复前两步，得到大量期权回报贴现值的抽样样本(4)求样本均值，得到期权价格的蒙特卡洛模拟值mmexp(-rT)ZmaxSS-K}Cmc=1exp(-rT厂Cjmjdm另外，我们还可以得到蒙特卡洛模拟值与真值的概率化误差边界，这也是蒙特卡洛方法为期权定价的优势之一。由于Cj=exp(-rT)max{0,Sj-K)，m条路径的收益均值为mm2Cmean=t￡Cj,m条路径的方差为CVar=^Z(C^Cmean)，则可miim-1id得95%的置信区间为［Cmean-1.96J*,Cmean+1.96JfL］。例1:假设无红利的股票A,初始价格为￥6,价格过程服从几何布朗运动，年预期收益率为10%,收益率的波动率12,(0.1_0.252)0.01-0.250.01-；SA(t、t)=S(t)e2为每年25%,时间步长为0.01年（1年为10012,(0.1_0.252)0.01-0.250.01-；SA(t、t)=S(t)e2（1）MonteCarloPricePathSimulation6.66.46.2P5.85.65.45.20102030405060708090100Period图（1）蒙特卡洛方法模拟股票A价格路径，图（2）蒙特卡洛方法模拟股票B价格路径。若无红利的股票B、C、D,其价格均为￥6,股票B的期望收益率为0.1,波动率为0.6;股票C的期望收益率为0.5,波动率为0.25;股票D的期望收益率为0.5,波动率为0.6,分别用蒙特卡洛方法模拟该三种股票在一年内的价格路径如下：SB(tSB(t、t)Sc(t、t)(0.1_0.62)0.01—0.60.01：S(t)e212.(0.5_0.252)0.01-0.250.01iS(t)e212(0.5_0.6)0.01-0.60.01iS(t)e2SD(tt)MonteCarloPricePathSimulation6.16055.955.95.85Period(3)76.86.66.4P6.265.85.65.40SD(tt)MonteCarloPricePathSimulation6.16055.955.95.85Period(3)76.86.66.4P6.265.85.65.40MonteCarloPricePathSimulation图（3）蒙特卡洛方法模拟股票C价格路径，图（4）蒙特卡洛方法模拟股票D价格路径。从图中可以看生，股票C和股票D的价格上升速度较快，而股票B和股票D的价格波动比较大。这是与股票C和股票D价格的期望收益率较高，股票B和股票D价格的波动率较高相对应的。欧式看涨期权S0=6,K=2,r=0.1尸=0.25,T=1,通过Black-Scholes公式计算得的精确值为C=4」9。3,蒙特卡洛模拟的价格为C=4」787,其蒙特卡洛模拟图如下：EuropeanCallOptionPriceEstimation5.4IMonteCailo-TOC o 1-5 h z5.2I15c4.8a–m4.6e–4.4_I.-i..J.“r,—,i/A4.2_-I{I4-”14..3.80I0.5：1：1.5?2^2r5-?33.5.log(N)⑸上述同样的条件，路径由100逐渐增加到1000000条，对应地分别得到的期权价值的模拟值和置信区间，结果如下表所示：各种路径下蒙特卡洛方法模拟的95%置信区间N模拟值置信区间1004.3146

4.0112,4.6180

5004.2262

4.0962,4.3563

10004.2213

4.1287,4.3139

20004.1633

4.0984,4.2281

50004.1695

4.1280,4.2111

100004.1787

4.1490,4.2083

500004.1960

4.1826,4.2094

1000004.1886

4.1791,4.1980

10000004.1914

4.1884,4.1944

§4.蒙特卡洛模拟方法为我国权证定价权证是一种合同，权证投资者在约定时间内有权按约定价格向发行人购入或者由售合同规定的标的证券。权证发行人可以是标的证券的发行人或其之外的第三方。权证主要具有价格发现和风险管理的功能，它是一种有效的风险管理和资源配置工具。现选取我国认股权证中的五粮YGC1、马钢CWB1、伊禾fjCWB1为例，以2006年的价格作为样本区间模拟认股权证的价值，并将这些权证的蒙特卡洛模拟价值和由wind数据库给由的理论值进行比较。本例采用一年期短期利率2.52%作为无风险利率，用这些权证的正股股票价格序列来计算波动率。现实中用等时间间隔观测股票价格序列S(i=0,1,2,…n),股票投资的连续复利收益率u=ln(§/Su),(』1，2「),则Ui的样本标准差仃=J工9(U-U)2。如果用日数据计算波动率,Vn-1i』则年度波动率按下式计算：年度波动率=日波动率*(每年的交易日数)1/2将时间区间取为2006年12月1日—2006年12月29日，则由蒙特卡洛方法模拟的认股权证价格与Black-Scholes模型的精确值和市场价格比较的结果如下：蒙特卡洛方法对五粮YGC1认股权证的*II拟(仃=51.15%)日期实际值家特N洛模拟值理论值日期实际值家特N洛模拟值理论值12-110,16410,0669.82112-1812,10013,52413,35112-410,12010,35710,12112-1912,08013,57413,40112-59.88010,63010,40112-2012,21013,77113,60112-69.39510,38610,15112-2111,90013,37613,20112-79.1479.9989.75112-2211,420:12,68712,50112-89.0509.7859.53112-2512,03813,74213,57112-119.8509.2258.95112-2611,97813,40613,23112-129.82510,60010,37112-2713,00114,36414,20112-139.76610,26010,02112-2813,05014,61214,45112-1410,58911,33211,12112-2914,50016,19816,05112-1510,84912,02811,831一一一一蒙特卡洛方法对马钢CWB1认股权证的模拟（万=53.91%）日期实际值家将,洛模拟值理论值日期实际值家特N洛模拟值理论值12-111.1431.2440.569r12-18r1.7751.70911.05212-41.2091.1880.51712-191.8031.7091.05212-511.2411.2230.549r12-20:1.7301.75611.10312-61.3491.2230.54912-211.6411.7091.05212-711.6331.4160.743r12-22:1.7001.54210.77812-81.7501.6180.95212-251.7071.4530.84812-1111.9191.4160.743r12-26:1.8351.52011.05212-121.8741.6180.95212-271.7761.7091.05212-1311.7941.7481.094P12-28:1.6441.81111.16312-141.7941.6330.96912-291.7081.7481.09412-15:1.8301.6330.969一一一一蒙特卡洛方法对伊利CWB1认股权证的模拟（。=62.。3%）日期实际值家将,洛模拟值理论值日期实际值家特N洛模拟值理论值12-1113.32413.53312.62912-1814.76014.818113.98812-413.25013.94713.06912-1915.47915.54114.74812-513.29613.95713.07912-2015.48716.63015.88812-6112.91113.95713.07912-2115.59416.449115.69812-712.85313.28812.36912-2215.16816.57315.82812-812.73412.76311.80912-2516.61615.81715.03812-11112.92012.57611.60912-2616.61917.754117.05812-1214.05912.94111.99912-2717.67317.87917.18812-1313.52814.10813.23912-2817.67319.72619.09812-1414.28113.81512.92912-2917.67319.726119.09812-15114.34914.61913.778一一一一从表可看由，由蒙特卡洛方法模拟的认购权证价格的模拟值比由Black-Scholes公式计算的理论值更接近实际值。为了更直观的比较，由蒙特卡洛方法模拟的认股权证价格与Black-Scholes模型的精确值和市场价格比较的结果如下图。其中SJ代表实际值，MC代表蒙特卡洛方法求得的模拟值,BS代表由Black-Scholes公式计算由的理论值。17171615141312111098五粮YGC1五粮YGC1价格模拟比较图2.521.510.50马钢CWB1价格模拟比较图伊利CWB1价格模拟比较图从图中明显看由，五粮YGC1和伊利CWB1的模拟结果比较好，蒙特卡洛模拟值和Black-Scholes模型的理论值均与实际值吻合；而马钢CWB1的实证结果不理想，但是三种结果的走势图有共同的趋势。从比较分析中发现蒙特卡洛方法模拟的价格比Black-Scholes模型更接近实际价格。对于这些认股权证价格的模拟结果的好坏，受诸多因素影响,主要与选取的波动率和中国权证市场的发展特点有关等等o?隐含波动率及其数值计算方法隐含波动率是一个在市场上无法观察到的波动率，是通过Black-Scholes期权定价公式计算由来的波动率。由于我们无法给由它的解析解，因此，只能借助于数值计算给由近似解。下面介绍牛顿迭代法计算隐含波动率。牛顿迭代法是牛顿在17世纪提由的一种在实数域上近似求解方程根的方法。步骤1.将函数f(x)在点％附近展开成泰勒级数f(x)2f(x)=f(x。)f(x0)(x-x0)2：(x-%)步骤2.取泰勒级数的前两项作为f(x)之f(%)+「(x0)(x-x0)假设「(％)#0,求解方程f(x)=f(x0)+r(x0)(x—%)=0,并令其解为为，得x1=x0-

)：0|,这样得到迭代公式xn+=xn-n),经f(x。)f(xn)过n次迭代后，可以求生f(x)=0的近似解。根据牛顿迭代法，隐含波动率的计算步骤如下：.假设其他变量保持不变，认为函数f(^)=SN(d1)-Ke(T4)N(d2)-CMar是隐含波动率的一元函数，其中的CMar是市场上观察到的期权价格。.求函数f(叼的导数「(仃)=丝=5行父13用222.2~f(；)、3.由迭代公式小=?「嗫彳计算波动率，直至f?i)f(i)(是期望达到的精度)。止匕外，为了计算隐含波动率，经济学家和理财专家曾做过种种努力试图寻找一个计算波动率的公式。如Brenner和Subrahmanyam于1988年，Chance于1993年分别提由计算隐含波动率的公式，虽然这些公式对于持有平价期权的波动率的计算还算准确，但是基础资产的价格一旦偏离期权的执行价格的现值，其准确性就会丧失。1996年，Corrado和S-Ke-rT22)S-Ke-rT22)(S.Ke=2)12二小S-Ke-rT二」T(C-TSKe2§5.服从跳扩散过程的无形资产期权定价问题及其蒙特卡洛模拟分析?服从跳扩散过程的期权定价方法正常的波动用几何布朗运动（Brown）来描述一由供需不平衡、利率变动或整个经济的波动等因素引起的。不正常的波动用泊松过程（Poisson抹描述一由未预料到的重要信息的由现引起的。这些信息在不连续的时间点由现，而且由现的时间点不确定，是否会由现也不确定。带跳跃项的伊藤Ito公式：设V=V（S,t）,v是二元可微函数，若随机过程St服从随机微分方程dS=adtdWdJS其中，dW是标准维纳过程，dJ表示不可预测的跳跃，旦E=0。则带跳跃项的伊藤ItO公式为cVdV(S,t)=「ft十九￡(V(S+ai,t)-V(S,t))pi+lCr2SVcVdV(S,t)=「fti42FS2?Sk其中,ST=limSss-4-odJv=

V(S,t)-V(S,t)

一t「(V(Sai其中,ST=limSss-4-o上式是对跳跃项作如下假定得由的:1、在两个跳跃之间Jt保持不变，而在跳跃时间“j,2」

是离散和随机的；2、有k种跳跃类型,跳跃尺度为｛ai,i=12…用，跳跃尺度为ai的概率为L跳跃的发生强度％依赖于§的最终观测值，跳跃类型和尺度都是独立随机的。则在时间区间(宜+的内，增量1为kJt=N-

t：tcaiPi)

y这里^表示的是至时间t发生的跳跃大小的总和，%』表示跳kaiPi,“一一跃发生的概率，y为跳跃的期望值，则1是不可预测的。漂移参数a可看作两个漂移的和kat=5.aiPi)id这里q表示§中连续运动的维纳过程部分，第二项为纯跳跃部分。将Poisson过程引入到期权定价模型中，得到标的资产价格价格的跳扩散方程如下dS=(-)dt-dW(Y-1)dN1dt,dN=其中，91-zdt,标的资产价格的变化比率为v=E(Y—1),且Y与dN相互独立。令F=lnS,根据带跳跃项的伊藤公式可得其微分形式为dF=干出干=(」一S1dF=干出干=(」一S12一仃2一一13F_2_一一一((」-?.)Sdt二SdW)2(二SdW)2(F(YS,t)-F(S,t))dN2；S一九)dt十仃dW+lnYdN整理上式，得到标的资产价格公式为S=exp.|(N—J仃2—7w)t+?W(t)tY在标的资产价格遵循跳扩散过程的假设下，根据上述带跳伊藤公式可得期权价值V=V(S,t)的微分形式如下TOC o 1-5 h zV.二V1.二2V二VdV=((」-?.)S1-2S2—V2)dt-SVdW(V(YS,t)-V(S,t))dNft；S2FS2；S构造期权与标的资产的无套利资产组合n=v一更s,其微分FS形式为NN12_2AccVFVd一=dV—dS=(一…S一2)dt(V(YS,t)-V(S,t))dN-(Y-1)S-dNFSft2:S：S则该无套利资产组合微分形式的期望如下式：V12-2–cNE(d..)=(——/S2)出E

(V(YS,