01
02
二叉树期权定价模型
03
第八章期权定价模型
风险中性定价
Black—Scholes期权定价模型
学习目标
掌握单期二叉树模型。
理解多期二叉树模型。
熟悉二叉树模型的现实应用。
掌握风险中性定价原理。
掌握Black-Scholes期权定价模型。
第一节二叉树期权定价模型
单期二叉树模型
多期二叉树模型
二叉树模型的现实应用
一、单期二叉树模型
基本思路：
为对期权定价，首先构造一个复制组合，复制一个与期权具有完全相同价值的证券组合。因为这两者具有相同的现金流或支付，根据无套利原理，这意味着期权与复制组合的当前价值必定相等。
（一）一个简单的例子
考虑经过1期后到期的欧式看涨期权，期权的执行价格为50元。假设今天的股票价格为50元。假设标的股票不支付股利（除非明确说明）。在1期后，股价有可能上升10元或者下降10元。单期无风险利率为6%。将这些信息汇总，由如下的二叉树来表示。
举例：
我们将股价上涨（至60元）定义为上升状态，将股价下跌（至40元）定义为下降状态。
令表示购买的股票数量，B表示对债券的初始投资。为了用股票和债券构造看涨期权，要求由股票和债券构成的组合的价值，在每一种可能的股价变动状态下，必须与期权的价值完全一致。
求解关于和B的联立方程，方程的解为：
=0.5，B=-18.8679。
买入0.5股股票，卖空大约价值18.87元的债券（即以6%的利率借入18.87元）所构成的投资组合，在经过1期后，将与看涨期权的价值完全相符。
0.5×60－18.8679×1.06=10
0.5×40－18.8679×1.06=0
看涨期权的价格必定等于复制组合的当前市场价值。复制组合的当前价值等于：
看涨期权的当前价格为6.13元。
假设当前的股价为S，在下一期，股价或者上涨至Su，或者下跌为Sd。无风险利率为rf。假设股价上涨，期权的价值为Cu；股价下跌，期权的价值为Cd，下面来确定期权在今天的价值（价格）：
（二）二叉树期权定价公式
期权在今天的价值c就等于复制组合的成本：
二、多期二叉树模型
假设每一期的无风险利率为6%，现在来考虑，如何为执行价格为50元、将于两期后到期的欧式看涨期权定价（假设未来的股价升降为已知）：
我们计算的复制组合中的股票数量为＝0.5，债券头寸为B＝－18.87元，看涨期权的初始价值为6.13元。
考虑经过1期后到期的欧式看涨期权，期权的执行价格为50元。假设今天的股票价格为50元。假设标的股票不支付股利（除非明确说明）。在1期后，股价有可能上升10元或者下降10元。单期无风险利率为6%。将这些信息汇总，由如下的二叉树来表示。
举例：
买入0.5股股票，卖空大约价值18.87元的债券（即以6%的利率借入18.87元）所构成的投资组合，在经过1期后，将与看涨期权的价值完全相符。
0.5×60－18.8679×1.06=10
0.5×40－18.8679×1.06=0
看涨期权的价格必定等于复制组合的当前市场价值。复制组合的当前价值等于：
看涨期权的当前价格为6.13元。
看涨期权的初始价值等于复制组合的最初成本：
当二叉树模型扩展到n步后，其计算方法仍然是相同的，利用二叉树期权定价公式，从后往前依次计算出每个节点的期权价格，直到计算出0时刻的期权价格。
【例题1】
假设ABC公司的股票现在的市价为50元。有1股以该股票为标的资产的看涨期权，执行价格为52.08元，到期时间是6个月。无风险利率为每年4%。
把6个月的时间分为2期，每期3个月。变动后的数据如下：ABC公司股票的现在市价50元，看涨期权的执行价格52.08元，每期股价有两种可能：上升22.56%，或下降18.4%；无风险利率为3个月1%。
套期保值比率＝期权价值变化/股价变化＝（23.0248－0）/（75.1048－50.0045）＝0.9173
购买股票支出＝套期保值比率×股票现价＝0.9173×61.28＝56.2121借款数额＝（到期日下行股价×套期保值比率）/（1＋利率）
＝50×0.9173/（1＋1%）＝45.4150（元）
Cu＝56.2121－45.4150＝10.7971（元）
由于Cud、Cdd均为0，因此，Cd＝0
套期保值比率＝期权价值变化/股价变化＝（10.7971－0）/（61.28－40.8）＝0.5272
借款数额＝（到期日下行股价×套期保值比率）/（1＋利率）
＝40.8×0.5272/（1＋1%）＝21.2968（元）
C0＝0.5272×50－21.2968＝5.06（元）
这里需要特别说明的是，股票价格在每个时间节点上涨的倍数u和下降的倍数d是如何确定的。
三、二叉树模型的现实应用
假定标准差σ＝0.4068
如果时间间隔为1/4年，则u＝1.2256，即上升22.56%；d＝0.816，即下降18.4%
做题程序：
（1）根据标准差确定每期股价变动乘数（应用上述的两个公式）
（2）建立股票价格二叉树模型
（3）根据股票价格二叉树和执行价格，构建期权价值的二叉树。
构建顺序由后向前，逐级推进。——复制组合定价或者风险中性定价。
（4）确定期权的现值
在实际应用二叉树模型时，通常将期权有效期分割成若干极小的时间间隔，用大量离散的小幅度二值运动来模拟连续的资产价格运动，这使得二叉树模型的应用具有了现实意义。
第二节风险中性定价
风险中性定价基本原理
风险中性世界与现实世界
一、风险中性定价基本原理
在风险中立的世界里：（1）所有可交易证券的期望收益率都是无风险利率；（2）未来现金流量可以用其期望值按无风险利率折现。
如果用ρ代表股票价格将要上涨的概率，那么（1－ρ）就表示股价将要下跌的概率，未来股票价格的计算如下：
【例】假设一份欧式股票看涨期权，其执行价格为21元，标的股票的现价为20元，不支付红利，1期后，股票价格可能上涨到22元或下降到18元，单期无风险利率为3%。下面运用风险中性定价原理对期权进行定价。
二、风险中性世界与现实世界
风险中性概率ρ、（1－ρ）并非股价上升的实际概率，而是代表着该如何调整实际概率，以使股票期望的回报率等于无风险利率。这样，利用风险中性概率对期权的预期收益进行折现就会得出正确的结论。
第三节Black—Scholes期权定价模型
模型假设
Black—Scholes定价公式
Black—Scholes定价公式的拓展
Black—Scholes定价公式的参数确定
一、模型假设
Black—Scholes定价模型的假设条件如下：
（1）股票价格服从“几何布朗运动”随机过程。这一随机过程使得股票价格具有恒定期望收益和波动率的对数正态分布。
（2）在期权有效期内，标的资产不支付股利，标的资产价格的变动是连续的而均匀的，不存在突然的跳跃。
（3）没有交易费和税收，不考虑保证金问题，即不存在影响收益的任何外部因素。
（4）该标的资产可以自由地买卖，即允许卖空，且所有证券都是完全可分的。
（5）在期权有效期内，无风险利率为常数，投资者可以此利率无限制地进行借贷。
（6）市场中不存在无风险套利机会。
（7）看涨期权只能在到期日执行。
二、Black—Scholes定价公式
基于二项式期权定价模型，将每一期的时间长度和股价运动时距缩短至零，将时期数扩展为无穷大，从而可推导出布莱克－斯科尔斯期权定价模型。
式中：c表示买权价值（看涨期权）；S表示标的资产现行市场价格；X表示行权价格；rf表示无风险利率（按连续复利计算）；σ表示标的资产收益标准差；T表示期权距到期日的时间；N(x)表示标准正态分布的累积概率分布函数（即某一服从正态分布的变量小于x的概率。）
【例】假设目前是10月14日，请运用Black—Scholes定价公式，预测执行价格为12.5美元，将于12月16日到期的OA公司股票的欧式看涨期权的价格，目前该公司的股价为12.85美元，不支付股利，该公司股票的年波动率为0.81，12月16日的短期无风险年利率为4.63%。由于合约是12月16日到期，因此从目前来看距离到期日还有63天，则
由于Black—Scholes定价公式要求无风险收益率是连续复利计算的收益率，4.63%按连续复利计算，其结果为
我们整理一下已知条件：
S＝12.85，X＝12.5，rf＝0.0453，σ＝0.81，T＝0.1726
N（d1）＝N（0.2735）＝0.6078
N（d2）＝N（-0.0630）＝0.4749
我们整理一下已知条件：
S＝12.85，X＝12.5，rf＝0.0453，σ＝0.81，T＝0.1726
N（d1）＝N（0.2735）＝0.6078
N（d2）＝N（-0.0630）＝0.4749
三、Black—Scholes定价公式的拓展
（一）无红利支付股票的欧式看跌期权的定价公式
Black—Scholes定价模型给出了无红利支付股票的欧式看涨期权的定价公式，根据看跌看涨期权平价关系公式，可以得到无红利支付的欧式看跌期权价格公式：
【例】OA公司股票的欧式看涨期权的理论价格为1.92美元，带入中，计算可得执行价格为12.5美元，将于12月16日到期的OA公司股票的欧式看跌期权的理论价格：
（二）无红利支付股票的美式期权定价公式
提前执行无红利支付的美式看涨期权是不明智的，在其他条件相同的情况下，同一种无红利支付美式看涨期权的价格等于欧式看涨期权的价格，即C＝c，由此我们就可以用Black—Scholes定价模型对不支付红利的美式看涨期权估价。
（三）有红利支付股票的美式期权定价公式
1.假设股票在期权期限内支付红利Di，该红利是在ti（单位为年）时间段以后支付，假设调整后Black—Scholes定价模型中的股票价格为S*，则考虑红利支付的S*＝S－PV（D）＝S－∑iDie－rfti。
2.假设红利连续地以一个已知的年收益率（δ）进行支付，如果S不变，那么在T时刻该股票支付的红利价值为（SeδT－S），调整的Black—Scholes定价模型需要用减去红利现值的S*来替换S，则S*＝S－PV（D）＝S－e－δT（SeδT－S）＝S e－δT。
四、Black—Scholes定价公式的参数确定
（一）估计无风险利率
无风险利率需要用连续复利的方式表达出来，才可以在Black—Scholes定价公式中应用。需要特别提示的是，不同到期日国库券的收益率可能有较大差异，我们应该选择距离期权到期日最近的国库券的利率作为无风险利率。
（二）估计标的资产价格的波动率
（1）历史波动率
历史波动率是指从标的资产价格的历史数据中计算出价格收益率的标准差。具体可按以下步骤：
①从市场上获得标的资产（如股票）在固定时间间隔（如每天、每周或每月等）的价格；
②对于每个时间段，求出该时间段末的股价与该时间段初的股价之比的自然对数，即为连续型股票价格百分比收益。
rt表示第t期连续型股票价格收益率；Pt和Pt-1分别表示第t期和第t－1期股票价格。
③假设有n个连续型股票价格收益率，计算这些收益率的均值（）及方差（σ2），σ就是相应的波动率。
（2）隐含波动率
所谓隐含波动率，是将Black—Scholes定价公式中除了波动率以外的参数和市场上的期权报价代入，“倒推”求得波动率数据。也就是指能使Black—Scholes模型价格等于期权当前市场价格的标准差。
【例】假设有一个不支付红利股票的欧式看涨期权价格为13.5美元，相关参数有S＝125.94，X＝125，T＝0.0959，r＝0.0446，将参数代入计算期权价格等于13.5时对应的σ值。
我们可以用迭代的方式来求解隐含值σ。例如，开始时我们令σ＝0.5，对应这一波动率的期权价格为8.48美元，这个价格比市价要小，由于期权价格是σ的递增函数，于是我们再令σ＝0.8，对应的期权价格为13.09，仍然低于市价，我们再令σ＝0.85，对应的期权价格为13.86，此值高于市价，这意味着σ值应该介于0.8与0.85之间，当σ＝0.83时，对应的期权价格近似为13.50，因此我们的答案是0.83。
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